Hola @mh.iriarte10 te respondo:
1) Sí, deberías renovar la precaria hasta que tengas el DNI
2) Deberías pedir el DNI, te será útil para muchos trámites y además es el que constata la estadía legal en el país.
3) Puedes viajar y en Migraciones (aeropuerto) mostrar tu Residencia Precaria, recuerda que debes volver antes de su vencimiento.
4) No sé cómo sería “no pedir el DNI” me parece que te hará un doble trámite y será más problema, tampoco tengo claro si es posible “pedirlo” así, pero puedes escribir ésta duda a info@migraciones.gov.ar
Saludos!!